С-Петербург, улица Тосина 3
+7 (812) 917-84-85
+7 (921) 316-27-00

Дифференциал что это такое


Что такое дифференциал? - Колеса.ру

Дифференциал как автомобильный механизм скоро отметит двухвековой юбилей, однако его конструкция за эти долгие годы хоть и совершенствовалась, но сохранила ключевые особенности. Что же такое дифференциал, и какую роль он выполняет в автомобиле?

1. Что такое дифференциал?

Дифференциал в автомобиле – это механизм, который позволяет передавать мощность и, следовательно, вращение от коробки передач к колесам, разделяя поток этой мощности на два, для каждого из колес одной оси, с возможностью изменять соотношение передаваемой к ним мощности, и, следовательно, позволяя колесам вращаться с разной скоростью. Проще говоря, дифференциал разделяет 100% мощности, передаваемой коробкой передач, на два потока для каждого из колес на одной оси, и эти потоки могут перераспределяться в зависимости от условий движений от 50:50 до 100:0.

2. Для чего нужен дифференциал?

Основное предназначение дифференциала – обеспечить возможность вращения колес на одной оси с разной скоростью с сохранением неразрывного потока крутящего момента. Для автомобиля это важно прежде всего в поворотах: ведь при движении по дуге колеса на внешней стороне поворота проходят больший путь, чем колеса на внутренней, а значит, должны вращаться с большей скоростью для сохранения стабильности машины.

Если же колеса на оси будут соединены жестко, то внутреннее колесо в повороте будет пробуксовывать. Для заднеприводного автомобиля это повышает риск заноса, а для переднеприводного радикально ухудшает управляемость и контроль автомобиля в повороте. Таким образом, обеспечение свободного и независимого вращения колес на одной оси с сохранением постоянства передачи на них крутящего момента от двигателя было одной из принципиальных задач с момента создания автомобиля – и это задача была успешно решена.

3. Как устроен дифференциал?

Дифференциал являет собой частный случай планетарной передачи. Физически он обычно представляет собой набор из четырех шестерней, вращение к которым передается пятой – ведомой шестерней главной передачи, объединенной с корпусом дифференциала, выполняющим роль водила. Главная передача – это набор из двух шестерней: ведущая получает вращение от КПП и передает его ведомой. Ведомая же шестерня главной передачи передает вращение через корпус на шестерни-сателлиты, а они, в свою очередь, находятся в зацеплении с солнечными шестернями, жестко закрепленными на приводных полуосях колес.

Когда автомобиль движется по прямой, шестерни-сателлиты неподвижны, и скорость вращения шестерни главной передачи равна скоростям вращения солнечных шестерней: колеса вращаются с одинаковой скоростью. В повороте же шестерни-сателлиты начинают вращаться, обеспечивая разницу скоростей солнечных шестерней и, следовательно, колес на внешней и внутренней стороне поворота.

4. Каковы недостатки дифференциала?

Главным недостатком дифференциала одновременно является его главное преимущество – возможность передавать до 100% мощности на одно из колес. Исходя из этого, в условиях, когда одно колесо имеет недостаточное сцепление с поверхностью, основная часть мощности будет передаваться именно на него. Таким образом, порой даже имея одно колесо на поверхности с достаточным сцеплением, автомобиль не может тронуться с места.

Для устранения этой проблемы были разработаны разнообразные конструкции – дифференциалы с повышенным внутренним сопротивлением (так называемые самоблоки) и дифференциалы с принудительной блокировкой, ручной или автоматизированной. В зависимости от конструкции и назначения они могут как изменять перераспределение потока мощности в пользу колеса с хорошим сцеплением с поверхностью, так и полностью замыкать дифференциал, заставляя колеса на оси вращаться с одинаковой скоростью. Разные типы таких дифференциалов мы рассмотрим в отдельных материалах.

Дифференциал: что это такое

Многие, кто собрался приобретать внедорожник, при выборе определённой модели, конечно могли столкнуться с термином «блокировка дифференциала». Но что это? Как это? И каков принцип работы и надобность этого самого дифференциала? Как показывает практика, знают не все будущие потенциальные «джиповоды».

В этой статье мы расскажем о том, что из себя представляет дифференциал и зачем он в автомобиле. Каких разновидностей он бывает и на какие автомобили предусмотрена его установка?

История дифференциала

Появление дифференциала в автомобильном мире не заставило себя ждать. Спустя лишь несколько лет, после того, как с конвейера стали сходить первые автомобили с двигателем внутреннего сгорания (ДВС). Давно ведь дело обстояло не так сладко, как сейчас и первые автомобильные образцы, которые работали при помощи двигателя, очень плохо управлялись.

Колёса, расположенные на одной оси, во время поворота вращались с одинаковой угловой скоростью, а это уже приводило к тому, что колесо, идущее по внешнему диаметру, сильно пробуксовывало. Решили эту проблему достаточно просто: заимствованием дифференциала у паровых повозок.

Этот механизм был изобретён во Франции в 1828 году инженером Оливером Пекке-Ром. Это было устройство, которое состояло из валов и шестерней. Через него крутящий момент от ДВС передавался на ведущие колёса.Но вот случилась ещё одна незадача – стали пробуксовывать колёса, которые утрачивали сцепление с дорожным покрытием. Зачастую это проявлялось во время движения по дороге с обледенелыми участками.

Колесо, которое находилось на льду, вращалось с большей скоростью, чем колесо, что оставалось на более пригодной для движения поверхности. Это и приводило к заносу. После конструкторы и стали думать о том, как настроить дифференциал, чтобы колёса вращались с одинаковой скоростью, дабы воспрепятствовать появлению заносов.

Первым человеком, проводившим эксперименты над дифференциалом с минимальным проскальзыванием, стал ни кто иной как Фердинанд Порше. Для того, чтобы рынок повидал кулачковый дифференциал – «детище» Порше с ограниченным проскальзыванием, потребовалось не менее трёх лет. Им оснащали первые модели автомобилей марки Volkswagen. В следующие десятилетия инженерами были разработаны разнообразные виды дифференциалов, о которых мы расскажем Вам далее.

Принцип работы и устройство

Давайте, пожалуй, начнём с типа дифференциала, который является самым простым для рассмотрения – открытого дифференциала. Мы начнем с простейшего типа дифференциала, называемого открытым дифференциалом. Итак, конструкция дифференциала включает в себя следующие части:

- Ведущий вал. Его задача заключается в передаче крутящего момента. Вал ведёт его от трансмиссии к самому началу дифференциала.

- Ведущая шестерня ведущего вала. Шестерня в форме косозубого конуса, необходимая для сцепки дифференциальных механизмов.

- Коронная шестерня. Элемент, являющийся ведомым. Так же имеет форму конуса и вращается ведущей шестернёй. Система вместе взятых ведущей и ведомой шестерней называется главной передачей. Она служит на завершающем этапе по уменьшению скорости вращения, которое достигает колёс в конечном счёте. Ведущая шестерня в своих размерах гораздо уступает коронной, поэтому для осуществления одного оборота ведомой, первой необходимо совершить не один оборот вокруг своей оси.

- Шестерни полуосей. Являются последним рубежом передачи вращения ведущего вала колёсам.

- Сателлиты – это планетарный механизм, осуществляющий ключевую роль в обеспечении разной угловой скорости колёс при осуществлении поворота.

Когда Вы двигаетесь по прямой на своём автомобиле, то весь дифференциальный механизм вращается с единой скоростью: входной вал вращается с идентичной скоростью, что и полуоси, соответственно, с той же скоростью происходит и вращение самих колёс. Но только Вы повернёте руль, ситуация моментально в корне изменяется. Главными игроками теперь выступают сателлиты, которые разблокировываются под воздействием разности нагрузок на колёса, когда, например, одно колесо начинает пробуксовывать и поэтому движется быстрее.

Вся мощность мотора проходит непосредственно через них. А в результате того, что сателлиты представляют из себя две шестерни, которые независимы, то происходит передача разной частоты вращения двум полуосям. Но мощность не разделяется поровну, а передаётся на колесо, что движется во внешнем крае поворота машины. Следовательно оно и начинает крутиться гораздо быстрее за счёт количественного прибавления оборотов. И разность в распределении мощностей между колёсами тем больше, чем меньше радиус поворота автомобиля, то есть чем сильнее Вы выворачиваете рулевое колесо.

Что такое блокировка дифференциала и как она работает

Блокировка дифференциала – это один из эффективнейших способов повышения внедорожных характеристик автомобиля. Любой автомобиль, который предназначается напрямую или косвенно для бездорожья, оснащается конструкторами на заводе механизмом, который блокирует межосевой дифференциал. Так же автомобили оснащают механизмами, блокирующими передний и задний мосты.

Блокировка данного механизма, как и любое технологическое решение имеет свои преимущества и недостатки. Чтобы понять, когда необходимо использовать блокировку дифференциалов, а какие случаи просто запрещают её использование, нужно разобраться в принципах, на которых её действие основывается.

Попробуйте в зимнее заснеженное время совершить с места прыжок в длину. Ага. А вот и не получается, а всё потому, что одна нога у вас оказалась на скользкой оледенелой поверхности, а вторая на сухом асфальте. Вот из-за этого и не получилось совершить чемпионский прыжок. Одна нога выскользнула из под Вас, а мозг не сориентировался вовремя и не дал команду вложить всю силу для толчка в другую ногу. Итог этого эксперимента достаточно весел и комичен: ноги разъехались и Вы чуть не рухнули на пятую точку.

Так что же сделать в данном случае, чтобы обе ноги возымели возможность прекрасно оттолкнуться от земли? А всё очень и очень просто. Необходимо просто две толчковые ноги превратить в одну, связав их прочно между собой прочным ремнём или жгутом. Теперь они будут работать, как одно целое и будет использоваться максимальная сила толчка от одной стабильной опорной поверхности с хорошим сцеплением. Аналогичный процесс происходит и в автомобиле в момент взаимодействия его ведущих колёс с дорогой.

Давайте представим ситуацию при которой заднеприводный автомобиль остановился случайным образом так, что его левое колесо оказалось на скользкой поверхности, а правое на асфальте. Как Вам известно, стандартный межосевой дифференциал малого трения, который находится на заднем мосту автомобиля, всегда предоставляет колёсам равную окружную силу. Левое колесо, находящееся на льду, не в состоянии сдвинуться со скользкой поверхности с применением больших усилий в силу недостаточности сцепления.

И-за этого дифференциал не в состоянии предоставить ему огромное усилие, так как это просто невозможно физически. А в этом случае аналогичная сила подведётся и к колесу, которое находится на асфальтированной поверхности. Он выровняет усилия, которые распределены между колёсами, ориентируясь на левое колесо.

В результате машина сдвинется с места с пробуксовкой, но медленно. Его колёса не смогут использовать достаточную для толчка силу, которая была бы необходима для сцепления правого колеса, которая в данных условиях будет ни много, ни мало, а в целых семь раз превышающую чем у левого. Из-за такого свойства распределять тяговую силу поровну, правое колесо будет использовать лишь седьмую часть его возможностей сцепления с асфальтом. Говоря проще, толчок мог бы случиться в семь раз мощнее, но дифференциалом не было подведено к нему достаточного количества силы для совершения этого манёвра.

Следовательно необходимо осуществить такую связь между колёсами, для обеспечения совместного вращения или пробуксовки, буд-то бы единого колеса. Для решения данной задачи используется специальный механизм, блокирующий вращение шестерней дифференциала и связывающий два колеса между собой условной жёсткой связью с постоянным вращением и одинаковой скоростью. Такой механизм называется «механизм блокировки (отключения) дифференциала», или в простонародье – блокировкой.

Дифференциал, что заблокирован не в состоянии выравнивать межколёсное усилие, тем самым делая их связанными единой осью. В результате чего каждое колесо получает максимально возможную силу, которая нужна для наилучшего сцепления колёс. Следовательно, где лучше сцепление колёс с дорожной поверхностью, туда и будет прилагаться большая сила.

Какие бывают дифференциалы

Основой дифференциала является планетарный редуктор. Вид зубчатой передачи, который используется, условно может разделить дифференциал на три вида:

- Червячный;

- Цилиндрический;

- Конический.

Червячный дифференциал является самым универсальным и устанавливается как между осями, таки между колёсами. Цилиндрический тип, зачастую, располагается во внедорожниках меж осей. Конический тип в основном применяется в качестве межколёсного дифференциала.

Выделяют так же симметричный и несимметричный дифференциалы. Несимметричная конструкция дифференциала устанавливается в полно приводных автомобилях между осями, распределяя крутящий момент в различных пропорциях. Симметричный тип передаёт на ось между двумя колёсами равный крутящий момент. Так же дифференциалы разделяют по виду блокирования: ручная блокировка и электронная блокировка.

Ручная блокировка дифференциала

Исходя из названия, блокировка дифференциала оси включается по инициативе водителя с помощью нажатия кнопки или переключения определённого тумблера. В данном случае происходит блокировка шестерней-сателлитов, в результате чего ведущие колёса начинают вращаться с одинаковой скоростью. Зачастую ручной блокировкой дифференциала оснащаются внедорожники. Включать её рекомендуется для преодоления тяжёлого бездорожья, а отключение производить при выезде на обычную асфальтированную дорогу.

Электронная или автоматическая блокировка дифференциала

Автоматическое блокирование дифференциала осуществляется путём команд электронного блока управления, который анализирует состояние, в котором находится дорожное покрытие, используя ABSи ESP. Затем ЭБУ самостоятельно блокирует шестерни-сателлиты. По степени блокирования это устройство можно условно подразделить на дифференциал с полной и частичной блокировками.

Полная блокировка дифференциала

Включение такой блокировки подразумевает под собой тот факт, что шестерни-сателлиты останавливаются полностью, а механизм берётся за выполнение функций обычной муфты, тем самым передавая равностепенный крутящий момент на две полуоси. Вследствие этого оба колеса вращаются с одинаковой угловой скоростью. Если случится то, что хотя бы одно колесо потеряет сцепление с поверхностью, то крутящий момент с него в полной мере передаётся на другое колесо, которое осталось форсировать бездорожье. Такое дифференциальное устройство успешно реализовано на Toyota Land Cruiser, Mercedes-Benz G-Class и других.

Частичная блокировка дифференциала

Включение этой блокировки не полностью останавливает шестерни-сателлиты, а позволяет им проскальзывать. Такой эффект доступен благодаря самоблокирующимся дифференциалам. В зависимости от типа срабатывания данного механизма, делят его на два вида: Speed sensitive (задействуется, когда замечается разница в угловых скоростях вращения полуосей) и Torque sensitive (задействуется в случае уменьшения крутящего момента одной полуоси).Такой тип срабатывания дифференциального устройства можно встретить на внедорожниках Mitsubishi Pajero, Audi Q-серии и BMW X-серии.

Группа дифференциалов Speed sensitive различается строением конструкции. Одним из таких механизмов является тот, в котором дифференциальную функцию выполняет вискомуфта. Вискомуфта отличается от фрикционного дифференциала своей меньшей надёжностью. Именно из-за этого она имеет место устанавливаться на автомобили, которые не предназначены для преодоления непролазных дебрей и глубоких бродов или на автомобили со спортивным характером.

Ещё один механизм представляющий группу Speed sensitive называется героторный дифференциал. Роль блокирующих элементов здесь играют масляный насос и фрикционные пластины, монтируемые между корпусом дифференциала и шестернями-сателлитами полуосей. Хотя по принципу действия он схож с вискомуфтой.

Дифференциалы, которые относятся к группе Torque sensitive, также различны по своей конструкции. Например есть механизм с использованием фрикционного дифференциала. Особенность его заключается в разности угловых скоростей колёс в поворотах и при движении по прямой. Когда автомобиль движется по прямой, угловая скорость вращения обоих колёс одинакова, а во время прохождения поворота, крутящий момент для колёс различен.

Очередной тип дифференциалов - с гипоидным и косозубым зацеплением. Они условно подразделяются на три группы.

Первая – с гипоидным зацеплением

Здесь каждая полуось имеет свои собственные шестерни-сателлиты. Крепятся они между собой путём прямозубого зацепления, располагаясь перпендикулярно друг относительно друга. В случае возникновения разницы угловых скоростей ведущих колёс, происходит расклинивание шестерней полуосей. В результате чего шестерни трутся о корпус дифференциала. Дифференциал частично блокируется и происходит перераспределение крутящего момента на ось, с меньшей скоростью углового вращения. После выравнивания полуосевых скоростей, блокировка деактивируется.

Вторая – с косозубым зацеплением

Аналогична первой, но расположение шестерен-сателлитов параллельно относительно полуосей. Эти агрегаты крепятся между собой путём косозубого зацепления. Сателлиты этого механизма вмонтированы в специальные ниши на корпусе дифференциала.Когда наблюдается различие в угловой скорости колёсного вращения, шестерни расклиниваются и сопрягаются с шестернями, что находятся в нишах дифференциального корпуса. Происходит частичная блокировка. Направление крутящего момента определяется на ось с меньшей скоростью вращения.

Третья – с косозубыми шестернями полуосей и винтовыми шестернями сателлитов

Используется в межосевых дифференциалах. Принцип тот же – смещение крутящего момента на ось с меньшим вращением. Диапазон смещения этого вида достаточно велик - от 65/35 до 35/65. Когда угловая скорость колёсного вращения обоих осей стабилизируется и выравнивается, дифференциал разблокировывается. Эти дифференциальные группы широко применяются в автомобилестроении как на обычных моделях, так и на спортивных.

Преимущества и недостатки блокировки дифференциалов

+ возможность колёсного блокирования до 70%;

+ минимальное обслуживание;

+ отсутствие рывков на руле;

+ КПП не требует заливания специального масла;

+ установка не влечёт никаких сложностей;

+ обеспечение лучших внедорожных характеристик автомобиля;

+ более длительный срок работы конструкции;

+ лучшая управляемость автомобиля;

+ способность прохождения поворотов на более высоких скоростях;

+ автомобиль легче выводится из заноса.

- по истечению времени падает преднатяг;

- требуется замена регулировочных элементов каждые 40 тысяч километров для лучшей работоспособности конструкции;

- не своевременное или запоздалое проведение регулировочных работ приведут к тому, что система будет работать не корректно.

Подписывайтесь на наши ленты в Facebook, Вконтакте и Instagram: все самые интересные автомобильные события в одном месте.

Была ли эта статья полезна?

Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции?

Наряду с производными функций их дифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y1, а затем y = y2, то разность y2 ─ y1 называется приращением величины y. Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y2 ─ y1.

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемым dy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы – это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f' (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM' (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM'. Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f '(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM'дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM' уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f '(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM'и QN эквивалентны; иными словами NM' уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM'. Это видно на рисунке (с приближением M'к М отрезок NM'составляет все меньший процент отрезка QM').

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f '(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f '(x)Δх, или же df (x) = f '(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f '(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f '(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f '(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f '(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x2 = t4.

Далее следует (t +Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Отсюда Δх = 2tΔt + Δt2. Значит: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x2 = t4. Он оказывается равен dy=4t3Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f '(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f '(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x2, то Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔх + Δх2, а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх2→0, при х=0 величины Δу = Δх2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х2, так что dV = 3x2Δх = 3∙102∙0/01 = 3 (см3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см3. Полное вычисление дало бы ΔV =10,013 ─ 103 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см3.

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x3, не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δх + (3xΔх2 + Δх3).

Здесь коэффициент A= 3x2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх2 + Δх3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x2Δх есть дифференциал y = x3:

dy=3x2Δх=3x2dx или же d(x3) = 3x2dx.

При этом d(x3) / dx = 3x2.

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х2. Поэтому dy = ─ Δх/х2.

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f '(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f '(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f '(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f '(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f '(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Дифференциал - это что за механизм и как он устроен?

Дифференциал – это один их важнейших конструктивных элементов трансмиссии. Данное устройство предназначается для распределения и передачи крутящего момента между 2 потребителями. Также дифференциал моста обеспечивает их вращение с разной угловой скоростью. В сегодняшней статье мы рассмотрим устройство данного механизма и узнаем принцип его работы.

Где он размещается?

Как мы уже сказали, дифференциал – это часть коробки передач автомобиля. Однако в разных машинах он располагается по-разному. Так, в заднеприводных автомобилях он размещается в картере заднего моста, в переднеприводных – в самой трансмиссии. У машин с полным приводом данный механизм располагается в «раздатке» (привода ведущих мостов) или в картере осей (механизм ведущих колес).

Дифференциал, который используется для привода колес на ведущей оси, называется межколесными. Как правило, такие устройства устанавливаются на полноприводные авто. Дифференциал УАЗа тоже считается межколесным.

Режимы работы

В работе данного механизма можно выделить 3 основных режима работы:

В первом случае колеса встречают равное сопротивление дороги. Сила (крутящий момент) при этом передается с главной передачи на корпус дифференциала. Вместе с ним перемещаются и сателлиты. Последние передают усилие на колеса ведущего моста в равном соотношении. Так как сателлиты на оси не вращаются, полуосевые шестерни, которые обегает первый механизм, движутся с равной скоростью. Это значение соответствует частоте вращения шестерен на главной передаче.

Когда транспортное средство движется по скользкой дороге, одно из колес может пробуксовывать, а в это же время второе обеспечивать нормальное сцепление с полотном. Чтобы машина не буксовала на ровном месте, дифференциал приводит в действие то колесо, которое вращается с минимальной частотой. При этом второе колесо остается нетронутым. Пробуксовывающая шина не обеспечивает нормальное сцепление с дорогой, поэтому ее крутящий момент близок к нулю. При этом не стоит забывать, что дифференциал – это деталь симметричная и не факт, что устройство будет двигать оба колеса с нормальной частотой вращения. Нередко случается так, что данный механизм воспринимает усилия с пробуксовывающего колеса и снижает передачу усилий на второе. Таким образом автомобиль становится недвижимым и привести в действие его может только лебедка или буксир.

В третьем случае дифференциал – это механизм, который замедляет движение полуосевой шестерни автомобиля и заставляет сателлиты вращаться вокруг оси, что, в свою очередь, увеличивает их частоту вращения. А происходит это потому, что в повороте внутреннее колесо имеет большее сопротивление, нежели наружное, и на него ложится дополнительная нагрузка. Поэтому дифференциал автомобиля распределяет одинаковое усилие на оба диска. Соответственно крутящий момент будет равным в обоих случаях.


Смотрите также

 

"Питер - АТ"
ИНН 780703320484
ОГРНИП 313784720500453

Новости