В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец три из них восстановленные

В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец три из них восстановленные. Определите вероятность того, что среди взятых наугад четырёх колец два окажутся восстановленными ?

Разложим все кольца на столе в ряд. Пусть первые – новые, а последние – восстановленные.

Рассмотрим неупорядоченные выборки. Т.е., например, если мы берём набор колец (по порядку на столе) и, скажем: – то такие выборки при анализе мы различать не будем. Ну и правда – это ведь один и тот же набор. Переставить четыре разных элемента можно 24 способами, т.е. и т.п. Вообще, если задуматься (или прочитать в учебнике :–), то легко понять, что число таких перестановок, это что иначе называется

Аналогично можно показать, что число перестановок для трёх элементов – это В самом деле, ведь, например, комбинацию можно переставить 6-ью способами и Аналогично число перестановок для двух элементов составляет , в самом деле, ведь, например, комбинацию можно переставить только 2-мя способами и

Теперь подумаем, сколькими способами можно вообще выбрать из колец какие-то Первое можно выбрать, как одно из 10-ти, второе – как одно из оставшихся 9-ти, третье, как одно из оставшихся 8-ми, и четвёртое, как одно оставшееся из 7, всего: вариантов. При этом как мы говорили выше, выборки и т.п. (всего 24 штуки) ничем не отличаются, значит, общее число неупорядоченных выборок 4 элементов из 10 будет

[0] А теперь выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 4 новых? Да просто не будем брать восстановленные, а будем брать всё из первых семи. Тогда общее число таких выборок составит вариантов. И поскольку в каждом таком варианте можно 24 способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 24 раза меньше, а именно:

Вероятность достать только новые кольца найдём, как отношение неупорядоченных выборок новых колец ко всем возможным выборкам, т.е. :

[I] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 3 новых, и только – одно восстановленное? Выбреем три восстановленных из первых семи. Это можно сделать способами. И поскольку в каждом таком варианте можно 6-тью способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 6 раза меньше, а именно: Кроме того таких возможностей будет втрое больше из-за того, что ко всякой выборке трёх новых колец можно добавить одно из трёх (!) восстановленных. Значит, общее число способов достать одно восстановленное и три новых составляет

Вероятность достать ровно три новых кольца и одно восстановленное найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. :

[III] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались ровно 3 восстановленных и только одно новое? Три восстановленных можно выбрать только одним способом (!) – просто взять их все :–). Кроме того таких возможностей будет в семь раз больше из-за того, что ко взятым восстановленным кольцам можно добавить одно из семи (!) новых. Значит общее число способов достать одно новое и три восстановленных составляет вариантов.

Вероятность достать ровно три восстановленных кольца и одно новое найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. :

[IV] Очевидно, что достать четыре восстановленных кольца – невозможно, поэтому: вероятность достать ровно четыре восстановленных кольца равно нулю.

[II] Всего существует сделать какие бы то ни было выборки, значит вероятность выбрать ровно два восстановленных и ровно два новых кольца вычисляется как разность:

А теперь можно ответить на поставленный в задаче вопрос.Но (!) его следует уточнить.!!!! Ответы смотрите во вложенном изображении !!! (сервис ограничивает 5000 символов, не влезло)

Вариант 9

1.9. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд?

(Ответ: 3 628 000)

2.9. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными?

(Ответ: 0,3)

3.9. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20%, второй – 30%, третий – 50% однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей:

а) три с разных станков;

б) три с третьего станка;

в) две с третьего станка.

(Ответ: а) 0,03; б) 0,125; в) 0,125)

4.9. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом – по 4 красных шара. Найти вероятность того, что:

а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

(Ответ: а) 0,1848; б) 0,4099)

5.9. Вероятность поражения мишени для данного стрелка в среднем составляет 80%. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена:

а) пять раз;

б) не менее пяти раз;

в) не более пяти раз.

(Ответ: а) 0,3932; б) 0,6554; в) 0,7379.)

6.9. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250.

(Ответ: 0,6543.)

7.9. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение G(X). Построить график функции распределения F(x). Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из четырех студентов равна 0,8; СВ Х – число студентов, сдавших экзамен.

(Ответ: M(X) = 3,2; D(X) = 0,64.)

8.9. Дана функция распределения F(x) СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).

(Ответ: )

9.9 Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 5 см, и дисперсией, равной 0,81 см. кв. Найти вероятность того, что диаметр наугад взятой детали – от 4 до 7 см.

(Ответ: 0,8533.)

10.9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?

(Ответ: 65.)

контрольная теория вер

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Контрольная работа

Теория вероятностей и математическая статистика

Вариант 9

Выполнил:

Студент группы 742/3к

Макаева Мария Олеговна

Проверил:

Григорян М.Э

Нижний Новгород

2016

Вариант 9

1. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд?

2. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными?

3. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок даёт 20%, второй — 30%, третий — 50% однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка.

4. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом — по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным; б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

5. Вероятность поражения мишени для данного стрелка в среднем составляет 80%. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена: а) пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти раз.

6. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250.

Решение

Cпособов разместить вагоны будет столько, сколько существует перестановок из 10 элементов

10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

2. Разложим все кольца на столе в ряд. Пусть первые – новые, а последние – восстановленные.

Рассмотрим неупорядоченные выборки. Т.е., например, если мы берём набор колец (по порядку на столе) 1358 и, скажем: 8315 – то такие выборки при анализе мы различать не будем. Ну и правда – это ведь один и тот же набор. Переставить четыре разных элемента можно 24 способами, т.е. 1358, 1385, 1538, 1583, 1835 и т.п. Вообще, если задуматься (или прочитать в учебнике :–), то легко понять, что число таких перестановок, это 4*3*2*1=24 что иначе называется 4!=24

Аналогично можно показать, что число перестановок для трёх элементов – это 3!=6 В самом деле, ведь, например, комбинацию 138 можно переставить 6-ью способами 138, 183, 318, 381, 813 и 831 Аналогично число перестановок для двух элементов составляет 2!=2, в самом деле, ведь, например, комбинацию 18 можно переставить только 2-мя способами 18 и 81

Теперь подумаем, сколькими способами можно вообще выбрать из 10 колец какие-то 4? Первое можно выбрать, как одно из 10-ти, второе – как одно из оставшихся 9-ти, третье, как одно из оставшихся 8-ми, и четвёртое, как одно оставшееся из 7, всего: 10*9*8*7 вариантов. При этом как мы говорили выше, выборки 1358, 1385, 1538, 1583, 1835 и т.п. (всего 24 штуки) ничем не отличаются, значит, общее число неупорядоченных выборок 4 элементов из 10 будет 10*9*8*7/24=10*9*7/3=10*3*7=210

[0] А теперь выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 4 новых? Да просто не будем брать восстановленные, а будем брать всё из первых семи. Тогда общее число таких выборок составит 7*6*5*4 вариантов. И поскольку в каждом таком варианте можно 24 способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 24 раза меньше, а именно: 7*6*5*4/24=7*5=35

[I] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 3 новых, и только – одно восстановленное? Выбреем три восстановленных из первых семи. Это можно сделать 7*6*5 способами. И поскольку в каждом таком варианте можно 6-тью способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 6 раза меньше, а именно: 7*6*5/6=7*5=35 Кроме того таких возможностей будет втрое больше из-за того, что ко всякой выборке трёх новых колец можно добавить одно из трёх (!) восстановленных. Значит, общее число способов достать одно восстановленное и три новых составляет 105 Вероятность достать ровно три новых кольца и одно восстановленное найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. :

3. а) три с разных станков 0,2 * 0,3 * 0,5 * 3! = 0,18 3! - число перестановок 3 элементов

б) три с третьего станка 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

в) ровно две с третьего станка и одна с первого либо со второго 0,5 * 0,5 * 0,5* 3 = 0,375